导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。它的历史可以追溯到17世纪，由多位数学家共同发展而来。
在古希腊时期，数学家和哲学家斯多葛派提出了"切线问题"，即如何找到曲线上一点的切线。然而，古希腊的数学发展还没有引入导数的概念。
在17世纪，导数的概念得到了重大的推进和发展。其中最为重要的贡献来自英国数学家伊萨克·牛顿（Isaac Newton）和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）。
牛顿在他的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）中首次引入了导数的概念。他将导数定义为函数变化率的极限，使用了微分的符号表示。牛顿的工作奠定了微积分的基础，为后来的发展提供了重要的理论支持。
莱布尼茨也独立地发展了导数的概念，并使用了不同的符号表示。他引入了微分法的符号表示法，使用了"d"作为微分的运算符号，并使用了Leibniz符号"d/dx"表示对变量x求导。
牛顿和莱布尼茨的工作使得微积分得到了极大的发展，导数的概念得到了广泛的应用。在接下来的几个世纪中，数学家们对导数进行了深入的研究和推广，发展出了更多的导数相关理论和方法。
19世纪的法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）对导数进行了严格的定义和证明，确立了现代微积分中导数的基本概念和性质。他的工作为导数理论的发展提供了更加严密和系统的基础。
随着时间的推移，导数的应用领域不断扩展，包括物理学、工程学、经济学等。导数理论的发展还催生了许多其他相关概念，如偏导数、高阶导数、导数的应用等，进一步丰富了微积分的内容。
在导数的历史中，还有其他一些重要的数学家和数学发展，如卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）、弗里德里希·里斯特（Friedrich Riemann）和皮埃尔-若尔斯·盖斯（Pierre-Simon Laplace）的贡献。
卡尔·魏尔斯特拉斯对导数的连续性和可导性进行了严格的研究，提出了连续但处处不可导的函数，挑战了传统对导数的理解。
导数被当做微分作商，称作微商，一个初等函数，可计算导数一定连续，连续的但不一定可导，当作商分母是0不可导。可以计算微分与函数是不是连续的与计算导数的关系保持一致。
弗里德里希·里斯特在复变函数理论方面的工作为导数的复数域推广提供了基础，进一步拓展了导数的应用范围。
皮埃尔-若尔斯·盖斯是概率论的先驱之一，他在导数和微积分的应用中发挥了重要作用，尤其在概率密度函数和累积分布函数的推导中。
当谈论导数的具体例子时，一个经典的例子是考虑函数 f(x) = x^2，其中 x 是实数。
要计算函数 f(x) = x^2 在某一点 x = a 处的导数，我们可以使用导数的定义。根据定义，函数在点 a 处的导数是该点处的斜率或变化率。对于函数 f(x) = x^2，我们希望找到它在点 x = a 处的斜率。
使用导数的定义，我们可以计算出 f(x) = x^2 在点 x = a 处的导数如下：
f'(a) = lim(Δx -> 0) [f(a + Δx) - f(a)] / Δx
将函数 f(x) = x^2 的表达式代入上式，我们得到：
f'(a) = lim(Δx -> 0) [(a + Δx)^2 - a^2] / Δx
我们可以对上式进行展开和化简：
f'(a) = lim(Δx -> 0) [a^2 + 2aΔx + (Δx)^2 - a^2] / Δx
化简后，我们得到：
f'(a) = lim(Δx -> 0) [2a + Δx] = 2a
因此，函数 f(x) = x^2 在任意实数 a 处的导数为 2a。这意味着函数 f(x) = x^2 在任意点的切线的斜率都是 2a。
在微积分中，有一些常见的导数公式可以用于求导不同类型的函数。下面是一些常见的导数公式：
常数规则：如果 c 是一个常数，那么导数为零，即 d/dx(c) = 0。
幂函数规则：对于函数 f(x) = x^n，其中 n 是实数常数，导数为 d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
和差规则：如果 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，那么对于函数 h(x) = f(x) + g(x)，其导数为 d/dx(h(x)) = d/dx(f(x)) + d/dx(g(x))。
乘法规则：对于函数 h(x) = f(x)g(x)，其导数为 d/dx(h(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，其中 f'(x) 和 g'(x) 分别表示 f(x) 和 g(x) 的导数。
商法则：对于函数 h(x) = f(x)/g(x)，其导数为 d/dx(h(x)) = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2，其中 f'(x) 和 g'(x) 分别表示 f(x) 和 g(x) 的导数，且 g(x) ≠ 0。
指数函数和对数函数规则：对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是常数且 a > 0，其导数为 d/dx(a^x) = (ln(a))a^x，其中 ln(a) 是以自然对数为底的 a 的对数。对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是常数且 a > 0，其导数为 d/dx(log_a(x)) = 1 / (x ln(a))。
y=c(c为常数 ) y'=0,
y=x^n y'=nx^(n-1)
y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
y=sinx y'=cosx
y=cosx y'=-sinx
y=tanx y'=1/cos^2x
y=cotx y'=-1/sin^2x